[스크랩] 축구공 궤적의 신비

축구공 궤적의 신비

 

이 인 호

축구와 물리학

 

축구와 물리학은 영 어울리지 않는 조화라는 것을 필자는 여러 물리학자들과의 대화로부터 듣고있다. 축구와 물리학을 하나의 잣대로 보는 것 자체가 말이 안되기는 하지만 물리학보다는 축구에 대한 일반 대중의 이야기와 관심이 많은 것은 사실이다. 물리학은 특정 물리현상에 대한 이해를 위해서 많은 생각과 검증절차를 필요로 하는 반면 축구는 그냥 보면 누구나 한 마디 할 수 있다는 면이 있다. 또 축구는 발로 하는 경기이고 손으로 하거나 머리로 하는 스포츠와는 완전히 다른 개념인 것 같다.

 

 그러면 축구는 과연 비과학적인 통제불능의 스포츠인가? 실제로는 그렇지 않다. 축구가 힘과 스피드를 앞세운 운동이지만 선수 훈련과정이나 선수 관리라는 측면에서 보면 더 없이 물리를 포함한 과학이 필요한 종목이다. 일련의 체계적이고 과학적인 운동동작 방식이 잘 숙련되면 팀 전술 개인전술에서 범실들을 줄일 수 있다.

 

요즈음 축구 중계방송을 보면 여러 대의 카메라를 동원하여 입체적인 동영상을 보여주고 있어 흥미롭다. 뿐만 아니라 현 위치에서의 골대까지의 거리를 화면에 표시해주는 등 다양한 서비스가 특징이다. 이들 자료는 선수 육성과 팀 전술 개발에 긴요하게 쓰일 수 있다. 더욱 놀라운 것은 특정 두 팀간의 경기 결과를 객관적으로 예측, 분석하는 응용소프트웨어들도 많이 개발되어 있다는 것이다.

 

 

호베르투 카를루스의 발기술

 

아마도 열성적인 축구 팬이라면 1997년 6월 브라질과 프랑스의 프레 월드컵 개막 전에 나타난 브라질 현 국가대표 호베르투 카를루스 선수(스페인 프리메가리가 레알 마드리드 소속, 168 cm/68 kg, 허벅지의 둘레가 보통사람의 두 배 정도이고 100 m를 11초에 주파하는 보기 드문 선수이다.)의 환상 프리킥을 기억할 것이다. 당시 상당한 반향을 불러 일으켰던 신비한 이 킥의 물리학적 근거들은 무엇이 있을까? 통상 '바나나 킥이라는 것의 원리는 마그누스 효과 또는 베르누이의 정리를 이용하여 설명한다. 그렇다면 호베르투 카를루스의 킥이 이런 종류의 효과로 설명 가능한가? 그리고 우리가 오래 전부터 보아오던 다른 선수들의 여러 가지 바나나 킥들과는 어떻게 다른가?

 

먼저 간단한 것부터 짚고 넘어 가보자. 일반 물리학을 동원하면 공기 저항이 없을 경우 공은 그 궤적의 정점을 오를 때와 내려올 때 소요되는 시간이 같다. 하지만 공기저항이 있으면 어떻게 될까? 또 운동장 면과 이루는 각도 즉, 몇 도로 축구공을 차야 축구공이 가장 멀리 갈 수 있을까? 간단히 예를 들면서 실제 축구 경기 상황과 비교하면 생각보다 재미가 있다.

 

골키퍼가 운동장 면에 대하여 45도 각도로 35 m/s의 속도로 축구공(질량 450 g)을 차게 되면 공기저항이 없는 경우 축구공은 정확히 포물선을 그리며 약 125 m를 가게 될 것이다. 반면 공기 저항을 고려하면 같은 조건으로 움직이기 시작한 공은 반절 정도의 거리(약 60 m)만을 가게 된다. 이 결과는 경험적인 사실에 기반을 둔 것으로 현실적으로 강하게 차는 선수를 기준으로 축구공의 초속을 35 m/s(=126 km/h)을 잡은 것이다. 물론, 어떤 선수가 차느냐에 따라 크게 다르겠지만 국가 대표 급 선수들 중에서 가장 멀리 차는 선수라면 이 정도는 찰 수 있으리라고 본다. 필자의 경험으로 보아서는 일반인들은 이 정도 비거리로 축구공을 차기는 거의 불가능할 것이다.

 

국제 경기 시 사용되는 축구장의 길이는 최소 100 m, 최대 110 m이며 페널티 박스는 골 라인으로부터 수직으로 16.5 m 경기장 안쪽으로 들어가 있다. 따라서, 골키퍼가 공을 차서 중앙선을 넘기기 위해서는 대략 40 m 이상은 찰 수 있어야 한다.(그림 1 참조)

 

위의 경우처럼 초기 속도 35 m/s와 각도 45도를 유지하면서 축구공을 찬 경우 축구공의 속도(v)에 대하여 마찰력이 ⁣Mv/4 형태로 추가로 가해지면 축구공( 질량 M=450 g)은 약 4.2초 동안 약 65 m를 날아가게 된다. 물론 공이 정점을 지날 때를 기준으로 정점을 지나기 전과 지난 후의 시간차는 약 0.38초가 나타난다. 이 때 정점으로부터 공이 그라운드로 내려오는 데 소요되는 시간이 공이 출발하여 정점에 도달할 때 소요되는 시간보다 크다. 그리고 공을 멀리 보내는 방법으로 공의 초기 속도 방향 결정에서의 적정 각도는 약 36도가 가장 비거리를 높이는 각도라는 것도 알 수 있다.

 

또한 이 적정 각도로부터 약 5도 이내에서의 편차는 최대 비거리에 약 1 m 이내의 비거리 축소의 결과를 나타낸다. 위의 결과들은 간단한 가정에서 출발했지만, 축구 경기를 관전할 때 또는 선수 지도 시 상당한 도움을 준다. 예를 들면 골키퍼가 자기 진영 페널티 박스 안에서 공을 차서 상대 진영 페널티 박스 내에 공을 차 넣을 수 있을까? 약 68 m 이상을 차면 된다. 실제로 이렇게 상대 진영 페널티 박스 안에 직접 공을 차 넣는 선수들이 드물기는 해도 있다. 심지어 골을 넣는데 직접적인 도움을 기록하는 골키퍼들이 여러 명 있어왔다는 것이다. 그러나 대부분의 골키퍼들이 이 정도까지는 못 찬다는 것을 우리는 여러 축구 경기들을 보아서 잘 알고 있다. 이상은 현실적으로 가능한 축구공의 비거리와 아주 강하게 찰 수 있는 선수들의 능력을 간단한 수치적 계산으로 알아 본 것이다.

 

또 위의 사실로부터 골키퍼나 프리킥을 차는 선수가 얼마나 평상 심을 유지하면서 공을 차는가를 평가할 수 있다. 즉, 경기 중 여러 번 축구공을 차는데 찰 때마다 일정하게 차면 초기 속도와 각도의 편차가 충분히 줄일 수 있다는 것이다. 따라서 선수들이 축구장에서 얼마나 정확히 공을 차는가를 평가할 수 있는 자료가 될 수 있다. 특히 골키퍼가 공을 찰 때나 프리킥을 할 때는 비교적 안정적인 상황이기 때문에 초기 각도를 편차 5도 내로 줄이기만 해도 아주 정확한 킥을 보일 수 있다는 것이다.

 

그만큼 공을 차는 순간이 중요하며 이 순간 관리가 잘 되는 선수가 우수한 축구 선수일 것이다. 축구가 체력과 스피드를 앞세운 운동처럼 보이지만 사실 실제 경기상황에서는 수많은 초기 조건 문제를 풀면서 경기를 해나가는 것이다. 사실 로봇 발을 이용하면 35 m 떨어진 물체를 맞추는데 2000회 실험 중 단 5번만 실패하는 것이 2002년 한일 월드컵에서 사용된 축구공의 성능인 것을 보면 축구에서 공을 차는 순간이 얼마나 중요한가를 보여준다.

 

물론 이 정도 간단한 계산으로는 호베르투 카를루스의 프리킥을 설명할 수는 없다. 우선 축구공의 궤적은 크게 두 가지 힘들에 의해서 결정된다고 생각하면 편리하다. 첫 번째가 차올리는 힘(lift-force)이고 두 번째가 공 진행 방향과 반대 방향으로 끌어당기는 힘 (drag-force)으로 분석된다. 물론, lift-force는 스핀을 포함하며 직선으로 날아가게 하는 힘을 말한다. 이는 우리가 공을 찰 때 직관적으로 관찰할 수 있는 것이라면 drag-force는 다소 전문적이라 할 수 있다. 또한 선수가 결정하는 것은 lift-force이며 그 이후의 축구공 궤적은 drag-force와의 연합으로 주어지기 마련인 것이다.

 

즉, 공의 진행 방향과 반대 방향으로 작용하는 쉽게 생각할 수 있는 것 중 하나를 참고하면 마찰력과 같은 것으로 선수가 공을 차고 난 다음부터 적용되는 힘들이다. 먼저 lift-force에 의해서 생기는 축구공의 궤적은 단순히 직진하면서 떠오르다 중력의 영향으로 떨어지는 힘이 있다. 강하게 차면 찰수록 직진의 성향이 강하고 적절한 각도에서 가장 멀리 가게 되는 것이 대부분이며 앞서 알아본 것이 좋은 예이다. 이는 스핀의 효과를 전혀 고려하지 않은 상태일 때의 이야기이다.

 

축구공의 스핀이 있는 경우는 공의 진행 방향이 정해지면 다음과 같은 상황이 연출된다. 축구공의 무게 중심 쪽으로 공기가 흐르고 (즉, 공이 직진하기 때문에) 또, 공 자체의 회전 때문에 생기는 공기의 흐름이 추가된다. 따라서 공을 중심으로 두 가지의 강도의 공기 흐름이 형성된다. 물론 스핀이 없으면 스핀에 따른 공기흐름은 없는 것이다. 적절한 스핀에 의해서 축구공 표면에서의 두 가지 공기 흐름 때문에 압력(단위 면적당 힘) 차이가 생기게 된다.

 

한 쪽은 조금 빠르고 다른 한쪽은 조금 느린 공기 흐름이 형성된다. 공기의 흐름이 빠르면 그곳에서의 압력은 낮아지게 되는데 이것을 '베르누이 정리'라고 한다. 비행기 날개를 생각하면 윗면 쪽은 곡선모양을 가지게 만들어서 공기의 흐름을 날개 아래쪽보다 빠르게 해두어 날개가 비행기를 위로 상승할 수 있게 해주는 것과 같은 이치이다. 즉, 공기의 흐름이 빠른 쪽으로 힘을 받게 되는 것이다.

 

이 같은 현상은 1852년 독일의 물리학자 하인리히 구스타프 마그누스가 포탄의 탄도를 연구하던 도중 발견했다고 해서 마그누스 효과(Magnus effect)라고 부른다. 물론 야구에서 투수의 슬라이더나 커브의 원리와도 같은 것이라 할 수 있다. 즉, 바나나 킥이라는 것도 알고 보면 야구에서의 커브와 같은 맥락에서 이해 할 수 있다. 하지만 이것으로는 공의 궤적을 충분히 설명할 수는 없다는 것을 뒤에서 이야기하려고 한다.

 

문제는 drag-force에 관련된 것인데 일반적으로 공의 속도가 증가함에 따라 drag-force도 증가한다. 이는 사이클 경기에서도 마찬가지이다. 사이클 단체 추발(4 km team pursuit) 경기에서 가장 앞에 나서서 팀을 이끄는 선수는 교대로 바꿔가면서 달린다는 사실은 널리 알려진 사실이다. 그 만큼 앞서서 달리려면 힘이 많이 들어서 어렵기 때문이다. 여기서 중요한 차원이 없는 물리량 "레이놀즈의 수"를 도입하는 것이 흥미로운데 이는 (공의 속도)/(공의 직경·공기 점유도)에 비례하는 상수라고 생각하면 된다. 일반적으로 drag-force는 이 "레이놀즈의 수"와 상당히 복잡하게 연관되어 있다.

 

골프공의 경우는 특수하게 표면 처리를 하여 drag-force를 최소화 할 수 있도록 설계하였는데 이는 상대적으로 적당히 높은 "레이놀즈의 수" (즉, 강하게 칠수록)에서도 drag-force가 작게 나오도록 (즉, 멀리 갈 수 있도록) 만든 것이다. 즉, 표면 상태가 움푹 파인 홈들로 이루어진 골프 공은 표면이 매끄러운 표면의 골프공보다도 더 큰 비거리를 가질 수 있다. 물론, 같은 속도, 같은 날씨와 같은 조건 등을 가정할 때이다. 또한 중요한 것은 아주 높은 특정 "레이놀즈의 수"를 능가하게 되면 drag-force가 상당히 작아지는 현상이 일반적으로 나타난다. 보통의 경우 공의 직경, 공의 표면 상태는 거의 같기 때문에 날씨가 중요사항으로도 등장할 수 있다. 보통 야구경기에서 맑은 날에 홈런과 장타가 더 잘 나온다. 이는 공기 점유도가 중요한 역할을 하기 때문이다.

 

축구공의 경우는 사정이 조금 다른데 표면도 상당히 깨끗하고 여기에 축구공의 직경(약 22.2 cm)은 다른 종목의 공들보다도 훨씬 크다. 이는 다른 공에 비해서 상당히 큰 "레이놀즈의 수"에서도 drag-force가 강하게 작용한다는 이야기이다. 따라서 어떤 의미에서는 축구공 자체는 구조적으로 drag-force의 영향을 많이 받을 수밖에 없도록 설계된 면이 있다. 흥미로운 것은 시속 30 m/sec (약 108 km/h)의 영역에서 갑자기 drag-force가 작아진다는 사실입니다. (또는 축구공의 직경이 작아지거나, 표면을 거칠게 만들거나 골프 공처럼 움푹 파인 홈들을 만들어 두면 같은 효과를 볼 수 있다.)

 

이렇듯 축구공을 강하게 차게되면 앞서 말한 축구공 표면의 공기 층이 얇은 층(laminar)흐름을 형성하지 않고 소위 말하는 난류(turbulence)상태를 나타내는데 이 때는 축구공에 작용하는 마찰력이 상대적으로 크게 작용하지 않아서 축구공 자체의 스피드가 크게 줄어들지 않는다. (즉, drag-force가 작게 작용한다.) 한마디로 공이 쭉쭉 살아 나간다는 말을 쓸 수 있다. 1990년 이탈리아 월드컵 대 스페인전에서 한국의 국가 대표 선수 황보 관 선수가 골을 기록할 때 찬 공이 이에 해당한다고 할 수 있을 것 같다.

 

또는 야구경기에서 '공 끝이 살아 움직인다'는 이야기와도 일맥 상통하는 표현이 된다. 통상 커브는 느린 볼이다. 스핀을 너무 많이 걸면 일반적으로 공의 속도는 강한 drag-force의 영향으로 급격히 그 속도가 떨어지는 것을 볼 수 있다. 물론, 던지거나 찰 때 공에 스핀을 도입하면 일반으로 직진 속도가 떨어지기 마련이다. 따라서, 우리가 찬 공이 drag-force가 작게 작용하는 속도 구간을 오랫동안 유지하여 진행할 수 있다면 축구공의 비거리는 자동으로 늘어나는 것이다. 물론, 공의 표면 상태나 날씨가 축구공의 비거리 향상에 도움을 줄 수도 있을 것이다.

 

이상의 이론으로 호베르투 카를루스 선수의 킥을 분석하면 30 m/sec (108 km/h) 이상의 속도로 직진하면서 초당 10회 정도의 스핀을 가진 공이 호베르투 카를루스 선수의 발을 떠난 것이라고 생각된다. (사진을 보면, 왼발 바깥쪽으로 강하게 차는 것을 알 수 있다.) 초반 10 여 미터 동안에는 난류(turbulence)상태로서 기술되는 영역으로 프랑스 선수들이 만든 수비 벽까지 도달했을 것이다.

 

이 때 물론 공의 속도는 크게 줄어들지 않았을 것이다. 그리고는 얇은 층(laminar) 흐름 상태로서 기술되는 영역에 진입하면서 압력차이('베르누이 정리')에 의한 공의 수평이동이 급격히 진행된다. 즉, 유체역학적으로 볼 때 축구공은 확연히 구분되는 두 가지 상태의 공기 흐름을 경험함으로써 신비한 궤적을 그릴 수 있었던 것이다.

 

그리고 프랑스 국가 대표 골키퍼 파비앙 바르테즈는 그냥 그 공을 계속 보고만 있다 한 발짝도 움직이지 않고! 다른 프랑스 선수들 뿐만 아니라 대부분의 양팀 선수들 그리고 관중들은 초반 공의 방향이 영 엉뚱한 방향이라고 저마다 생각했던 것이다. 그런 생각들이 머리를 스쳐가는 순간 그 축구공은 휘기 시작하여 어느새 골대를 향했던 것이다.

 

만일, 초반 직진 속도가 느렸다면 아마도 우리가 자주 보는 것처럼, 처음부터 크게 휘면서 상대적으로 느리게 날아가는 궤적을 축구공은 그렸을 것이다. 10여 미터를 거의 직선에 가까운 휘지 않는 궤적을 유지하다가 drag-force가 강해지는 영역으로 속도가 떨어지면서 마그누스의 효과가 돌연 나타남으로써 호베르투 카를루스 선수의 프리킥은 급격한 방향전환을 유지하면서 프랑스 문전 골포스트에 다다르는 것이다. 실로 처음 차는 순간만 보면 거의 코너 플래그 쪽을 겨냥한 킥처럼 보였다. 프리킥 지점은 골라인으로부터 직선 거리로 약 36 m 정도 떨어져 있었다. 참고로 골대 양 포스트간의 거리는 7.32 m이고, 지면에서 크로스바의 아래쪽까지의 높이는 2.44 m이다.(그림 2 참조)

그림 1. 축구경기장 평면도. (축구장 길이는 최대 110 m, 최소 100 m를 사용한다.)

그림 2(a). 6개의 그림 (뒤에서 찍은 사진들: 왼발 바깥쪽을 이용하여 공에 회전과 직진 속도를 부여하고 있는 호베르투 카를루스, 배번 6번 선수. 축구공은 파비앙 바르테즈 골키퍼가 바라보는 왼쪽 골포스트를 맞고 골대 안으로 들어간다. 축구공이 골포스트를 때릴 때의 축구공의 높이는 골포스트 높이의 중간보다 아래지점이다.)

그림 2(b). 6개의 그림 (정면에서 찍은 사진들: 수비벽까지 대략 9 m 정도 떨어져 있고, 골라인과 평행한 페널티 박스라인은 정확히 16.5 m 경기장 길이방향으로 그리고 경기장안으로 들어와 있다.) 그림 2(a)그림 2(b)의 각 사진들은 동일 시간상의 화면이 아니다. 편의상 각각 6개의 사진들을 제시했다.

그림 2(c). 호베르투 카를루스 선수가 찬공의 궤적을 간단히 나타내었다. (전산모사 결과는 아님.)

 

필요한 기술

우선 강하게 찰 수 있어야 한다. 문제는 초당 10회 이상의 스핀을 축구공에 걸면서 강하게 차기가 쉽지 않다는 것이다. 예를 들어 스핀에 치중하면 궤적은 급격히 곡선을 그릴지도 모르지만 속도가 떨어져서 상대 골키퍼가 충분한 시간적 여유를 가지고 방어에 들어갈 것이다. 따라서, 직선 킥을 할 때는 능히 135 km/h는 내야 한다는 이야기이다.

 

그래야 결국 스핀을 축구공에 걸 때 직선 속도가 108 km/h 이상 나올 수 있다. 이것은 일반적으로 국가 대표 급 선수들이라고 하더라도 상당히 힘들다. 한국 프로 축구 올스타전 캐넌-슈터 대회에서 나온 기록들을 보면 한국 국가 대표 선수 유상철, 안정환 선수가 스핀 없이 직선으로 강하게 찰 때 각각 약 128 km/h, 125 km/h을 기록한 바 있다. 즉, 이 정도 수준의 최대 직진 속도 보유능력으로는 호베르투 카를루스의 환상 킥과 같은 축구공의 궤적은 나오지 않을 것이다.

 

물론, 호베르투 카를로스의 킥에서와 같은 신비한 축구공 궤적을 좀더 즐겨 보고 싶다면 축구공의 대칭성을 유지하면서 표면을 거칠게 만들어 상대적으로 낮은 직진속도에서도 난류현상 영역 속으로 축구공을 밀어 넣을 수 있을 것이다. 이것이 축구가 진정으로 추구하는 것인가라는 데는 물론 사람들에 따라서 의견들이 분분할 수 있다.

 

만약 많은 사람들이 원한다면 축구공도 골프 공처럼 움푹 패인 홈들을 가지고 있는 축구공으로 바뀔 가능성은 얼마든지 열려있다고 생각한다. 사실 이러한 형태로의 축구공의 변화는 좀더 공격적인 축구 경기내용을 유도할 것이다. 왜냐하면 좀더 강한 슈팅들과 위력적인 킥들이 상대적으로 빈발해질 것이기 때문이다. 현실적으로 축구경기 규칙을 좀더 공격지향적으로 바꾸자는 이야기는 계속 있어온 것이 사실이다. 축구공에 골프공에서 본 홈들을 아주 균일하게 만들어 넣을 수 있다면 가장 적은 노력을 들이고도 우리는 공격적 축구경기들을 유도할 수 있다.

 

9.15meter와의 연관성

9.15 m는 흔히 축구 경기를 할 때 많이 인용되는 거리이다. 프리킥이 나왔을 때 상대 팀 선수들은 허용하는 한 9.15 m를 물러나도록 되어 있다. 또한 센터 서클의 반경도 9.15 m이며 페널티 아크의 반경도 9.15 m이다.(그림 1 참조) 위에서 호베르투 카를루스 선수가 찬 볼의 초반 10 m 비거리까지가 '난류영역'에 해당한다고 했다.

 

즉 이 영역에서의 볼은 사람에게 상당히 위험할 수 있을 정도이다. 이 개념을 적극 활용한 것이 프리킥을 찰 때 상대 선수들이 최소 9.15 m 이상 떨어져 있어야 한다는 규칙이다. 선수 보호 차원의 규칙이라 할 수 있다. 다시 말해서 가장 강력히 차는 선수 수준에 맞추어서 규칙이 정해져 있는 것이다. 일반의 선수들 프리킥 시에는 호베르투 카를루스의 프리킥에서보다도 짧은 거리가 난류영역에 해당하기 때문이다.

 

축구 종주국 영국에서는 보통 이 거리를 10 yard (9.144 m)라고 부른다. 실제로 축구 종주국 영국에서 위에서 언급한 규칙과 관련하여 상당한 실험들을 수행했다고 알려져 있다. 정말이지 축구에 관한 냉철한 열정은 우리가 인정해 줄 만한 사람들이다. 그런데 축구에 관한 또 다른 열정의 표출도 영국으로부터 나와서 우리들을 당혹하게 만드는 경우가 있다. 다름 아닌 훌리건 이야기이다. 그러한 의미에서 한국의 붉은 악마 응원단은 정말 신사 중의 신사임이 틀림없다.

 

 

참 고 문 헌

[1] Akatsuka and Haake, Physics World 11(6) (June 1998).

이인호 박사는 한국과학기술원 물리학과 고체물리학 이론전공 (박사학위 1996년), University of Illinois at Urbana-Champaign 박사후 과정, 고등과학원 물리학부 연구원을 거처, 현재 한국표준과학연구원 선임 연구원으로 재직 중이다. ( ihlee@kriss.re.kr)

출처 : 싸커코리아

글쓴이 : 싸커코리아 원글보기

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